[Lantezbaecker]

Hallo zusammen,
ich soll die Lösungsmenge, für derne Elemente die nachfolgende Ungleichung gültig ist, bestimmen:

|x-1|*x > -2

nun muss ich ja im 1. Fall einfach den Betrag "wegdenken" --> 0<x
und im 2. Fall (x<0) einfach vor den Betrag nen "-" setzen --> -(x-1)*x

nun habe ich ja ne pq Formel, aber kann ich die benutzen? Weil die muss ja immer =0 sein und nicht ungleich (größer,kleiner).

--> oder kann ich x ausklammern, dass dann da steht (Fall1): x(x-1)>-2 --> somit ist x>-1 ??

Kann mir jemand helfen?

[stalker32]

die pq formel anwenden. und dann schauen, ob die ungleichung für x>x0 bzw x<x0 erfüllt ist
zur kontrolle kannst du die funktion auch einfach graphisch darstellen und schauen, wo sie >-2 ist

[Lantezbaecker]

dann einfach die pq Formel für x^2-x+2>0 anwenden?
da kommt 0,5+1,....56i raus..

kann ja wohl net sein

oder die pq Formel für x^2+x einfach anwenden und die -2 auf der "rechten" Seite, außen vor lassen?

[Dante1253]

Zitat von Lantezbaecker

oder die pq Formel für x^2+x einfach anwenden und die -2 auf der "rechten" Seite, außen vor lassen?

Nein!

Das Ergebnis kommt daher, dass es für x < 0 im Endeffekt ja wieder 2 Möglichkeiten gibt:
x > -1
x <= -1

Zunächst das einfachere, für x < -1 ist |x-1| > 2, und somit ist die Aussage nicht erfüllbar.

Für x = -1 kommt gerade -2 raus, also auch nicht erfüllbar.

Für x > -1 (aber kleiner 0) gilt:
|x-1| € (1,2), das mal einer Zahl zwischen -1 und 0 ist auf jeden Fall > -2

Für x > 0 ist die Aussage trivialerweise immer richtig.

Es folgt:
Lösungsmenge L = { x € R | x > -1 }

[Lantezbaecker]

hast du das x* |x-1| nicht vergessen?

[Dante1253]

Zitat von Lantezbaecker

hast du das x* |x-1| nicht vergessen?

Ich glaube nein, wieso?^^

- " Zunächst das einfachere, für x < -1 ist |x-1| > 2, und somit ist die Aussage nicht erfüllbar. "

Wenn du zB -1,5 einsetzt, dann rechnest du etwas betragsmäßig höheres als 1 mal etwas betragsmäßig höherem als 2, also wird es betragsmäßig höher als 2. Mit einem Minus davor.

usw

[evaril]

Ich verstehe nicht, wieso du die Fallunterscheidung für x > -1, x <= -1 machst.
Wäre es nicht naheliegen sie für x> 1, x <= 1 zu machen ?
Für x > 1 ist der Betrag positiv => x²-x > -2 => da x>1 ist x²-x immer positiv also erfüllt für alle x>1
Für x <= 1 ist der Betrag negativ bzw. null => x-x² > -2
=> x²-x-2 < 0 => lösen von x²-x-2 = 0 ergeben sich die Lösungen x1 = -1
Da die Funktion f(x) = x²-x-2 stetig ist testet man nun z.B. x=1 in der Ungleichung x²-x-2 < 0. Man erhält -2<0 also eine wahre Aussage.
Demzufolge ist die Lösungsmenge L = { x € R | -1<x }

[Lantezbaecker]

so wie du hätte ich es auch gemacht, mehr oder weniger xD
aber muss es hier

Zitat von evaril

Für x <= 1 ist der Betrag negativ bzw. null => x-x² > -2
=> x²-x-2 < 0 => lösen von x²-x-2 = 0 ...

nicht -x^2+x+2 heißen?

ah, glaube doch nicht, weil x ja < 1 sein muss. Daher drehen sich (bei negativ) die vorzeichen um, oder?

[stalker32]

Zitat von evaril

Demzufolge ist die Lösungsmenge L = { x € R | -1<x<2 }

und nun teste mal x=3
|x-1|*x=2*3=6>-2
nanu?

fallunterscheidung:

1) x>1

x*(x-1)+2=x²-x+2>0

immer erfüllt, also x*|x-1|>-2 schonmal für x>1 gezeigt

2) x<1

x*(1-x)+2=-x²+x+2>0

x²-x-2<0 ... pq formel ... erfüllt für x in (-1,2), wobei die 2 egal ist, da x<1 gefordert wurde

also gesamtlösungsmenge x in (-1,inf)

[evaril]

Danke du hast natürlich recht, ich habe vollkommen außer acht gelassen, dass ich im 2. Teil der Fallunterscheidung nur x betrachte, die kleiner 1 sind, deshalb existiert die Lösung x = 2 nicht.