[kaddo]

Hallo.
Ich habe mal eine Frage. Wie formt man genau (und verständlich) Formeln um? Kann das jemand mit Beispiel erklären?

Ich muss nämlich einige Formeln umstellen KÖNNEN..und zwar:

Zinseszins: Kn = K0 * qn

Kn -> Kapial nach n Jahren
K0 -> Anfangskapital
q -> Wachstumsrate
p% -> Zinssatz

Wie rechnet man all diese 4dinge aus?
Bei Wachstum und Zerfall das selbe.

Und bei Quadratische Gleichungen:

Normalform: x² + px + q = 0
p-g-Formel: x1/2 = - (p/2) +/- WURZEL aus (p/2)² - q

Gibt es da noch andere Formeln?

Wäre gut wenn mir jemand das Umformen erklären kann. Oder vielleicht auch einige Formeln posten KÖNNTE...

LG Kaddo

[kaddo]

o-q natürlich!
g ist schwachsinn, habe die tasten aus versehen verwechselt ;D

[Stinky93]

Also bei Zinseszins geht es doch um folgendes, oder?

K0 = 10.000
p = 5% (ist einfach zu rechnen)
q= 1,05

K1 (nach einem Jahr) 10.000 * 1,05 => 10.500
K2 (nach zwei Jahren) 10.500 * 1,05 => 11.025
K3 (nach drei Jahren) 11.025 * 1,05 => 11.576,25
USW.

Jeder Schritt wurde hier einzeln durchgeführt => sehr aufwendig und zeitintensiv!

Weil das natürlich ziemlich komplex ist wenn man das einzeln macht und dann für 20 Jahre wissen will, gibt es die folgende Formel dafür:

K0 * q^(soll das Hochzeichen sein) J (für Jahre) => Klammer nicht vegessen!

Daraus ergibt sich:

10.000 * (1,05^3) z.B.

Und siehe da, das Ergebnis ist dasgleiche, nur viel einfacher!

Oder was meinst du? Ansonsten p-q-Formel hast du doch schon selber richtig hingeschrieben!

EDIT:

q -> Wachstumsrate
p% -> Zinssatz

Wo ist da der Unterschied laut deiner Definition? Ich entdecke keinen wesentlichen einmal kann q = 1,05 sein und p ist dann halt 5%, oder noch mehr?

EDIT²:

Für sowas braucht man doch keine Gleichungsumformung...

EDIT³:

Nur weil p und q da irgendwie zufällig so bezeichnet werden, heißt das ja nicht, dass man pq-Formel braucht. Oder kannste mir mal ne Beispielaufgabe stellen?

[kaddo]

Ich wollte wissen, wie man die Umformt, ncith wie man damit rechnet

"o" ist auch Quatsch^^

Wie ich auf o komme weiß ich auch nicht ôo. bestimmt nebens p gekommen

p-q-Formel natürlich...

[superdoc1234]

Du musst bei der PQ-Formel "Rückwärts" denken.

(x+a)² = x²+2ax+a²


Das heißt um von x²+px+q auf die PQ-Formel zu kommen "ergänzt" du:

2a=p und a²=(p/2)²

x²+px+(p/2)²-(p/2)²+q
(x+(p/2))²-(p/2)²+q
(x+(p/2))² = (p/2)² - q // WURZEL
x+(p/2) = +- WURZEL((p/2)² - q)
x = - (p/2) +- WURZEL((p/2)² - q)

[Erebos76]

Die algebraische Umformung beim Zinseszins ist recht simpel. Häufigster Knackpunkt ist die Umformung nach n. Du musst von folgendem ausgehen: die Umformung eines Terms erfolgt mit der mathematischen Umkehroperation. Bedeutet, daß der Term a + b = c bei gesuchter Größe a umgeformt wird durch Subtraktion von b. Damit hat man dann a = c - b, weil auf beiden Seiten b subtrahiert wird. Das leuchtet noch jedem ein. Die Umkehroperation zur Potenzierung, in Deinem Fall q^n, erfolgt über Radizierung. Das geht auch meist noch. Ist aber die Laufzeit gesucht, kannst Du n als Variable nur umstellen, indem Du den gesamten Term logarithmierst (siehe Punkt 3). Genau dort hakt es dann ganz gerne.

Versuchen wir es mal:

1. Grundformel: Kn = K0 * q^n

Bsp.: Ein Kapital K0 sei 10.000€. Die Verzinsung mit 5% erfolgt über 20 Jahre. Wie hoch ist das Endkapital?

Gegeben:

K0 = 10.000€
p = 5% --> i = 0,05 --> q = 1,05
n = 20 Jahre

Gesucht:

Kn

Kn = K0 * q^n
Kn = 10.000€ * 1,05^20
Kn = 26.532,98€

2. Gesucht: K0

a) Kn = K0 * q^n
b) K0 * q^n = Kn | :q^n
c) K0 = Kn : q^n

Beispiel: Ein Endkapital von 26.532,78€ sei 20 Jahre zu 5% verzinst worden. Wie hoch war das Startkapital?

Gegeben:

Kn = 26.532,78€
p = 5% --> i = 0,05 --> q = 1,05
n = 20 Jahre

Gesucht:

K0

Kn = K0 * q^n | :q^n
K0 = Kn : q^n
K0 = 26.532,78€ : 1,05^20
K0 = 26.532,78€ : 2,653278
K0 = 10.000€

3. Gesucht: n

Beispiel: Ein Kapital von 10.000€ soll zu 5% verzinst werden, bis es auf ein Endkapital von 26.532,78€ wächst. Wie lange ist die Verzinsungszeit?

Gegeben:
Kn = 26.532,78€
K0 = 10.000€
p = 5% --> i = 0,05 --> q = 1,05

Gesucht:

n

Kn = K0 * q^n | :K0
Kn / K0 = q^n | log
log Kn - log K0 = n * log q | :logq
(log Kn - log K0) / log q = n
n = (log 26.532,78€ - log 10.000€) / log 1,05
n = 20 Jahre

4. Gesucht: p

Beispiel: In 20 Jahren wachse ein Kapital von 10.000€ auf 26.532,78€. Wie hoch ist die Verzinsung?

Gegeben:

K0 = 10.000€
Kn = 26.532,78€
n = 20 Jahre

Gesucht:

p

Kn = K0 * q^n | :K0
Kn / K0 = q^n | :Radizieren (Wurzelziehen)
(Kn / K0)^(1/n) = q | eine Zahl hoch 1/n ist die n-te Wurzel aus dieser Zahl
(26.532,78€ / 10.000€) * (1/20) = q
q = 1,05 --> i = 0,05 --> p = 5%

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Wie Du siehst, ist die Umformung wirklich simpel. Behalte Dir schlicht im Hinterkopf, daß die Umformung zur Potenzierung die Radizierung ist und weiterhin, daß Du n als Variable nur dann ansprechen kannst, indem Du den gesamten Term logarithmierst. Zieht man den Logarithmus aus einem Term, müssen ein paar Rechenregeln beachtet werden. Betrachte Dir bitte mal Punkt 3. Aus Kn durch K0 wird beim logarithmieren log Kn minus log K0. Der Logarithmus erzwingt also die nächstniedrigere Rechenstufe. Aus Division wird Subtraktion, aus Multiplikation wird Addition etc.

Wenn noch etwas unklar sein sollte, sag bitte Bescheid. Und, das möchte ich Dir gerne ans Herz legen, lern das hier gründlich! Nach Zinseszins kommt i.d.R. Rentenrechnung. Dann solltest Du das hier verinnerlicht haben.