Koordinatenform --> Parameteform
 

Hey Leute,
wir wiederholen grad Algebra.. Vektoren genauer gesagt und da waren wir in der Ebenenumformung beschäftigt. Wir sollen von einer Koordinatenform --> Parameterform. Dabei hat die Lehrerin folgendes gerechnet:

Die Ebene :
E: 2x + 4y -6z = 12

dann kam die Lehrerin auf folgendes:
x= 6 - 2y+3z
y= y
z= z

und am Ende sagt sie : so das ist die Parameterform
(x/y/z)= x= (6/0/0) + y (-2/1/1) + z(3/6/1)

Was hat sie da gerechnet ? ich kann da nix nachvollziehen und sie meinte man kann das auch über Spurpunkte machen aber was hat sie denn hier gemacht?

Na der erste Schritt sollte soweit klar sein:
Du stellst die Ebenengleichung (E) nach x um und dann kannst du das zugehörige x für beliebig gewählte Werte y und z ausrechnen.

Die letzte Gleichung ist Quatsch und außerdem keine Parameterform. Die richtige Parameterform nimmt einen Punkt a (Ortsvektor) auf der Ebene und spannt zwei Richtungen (u, v) (Richtungsvektoren) auf. Jeder Punkt P der Ebene ist dann eine Linearkombination dieser Richtungen. s, t sind die "Längen" die man in Richtung u und v gehen muss um von a nach P zu kommen.
Die Parameterform lautet dann:

P = a + s*u + t*v

Sehr gut erklärt ist das ganze nochmal [Link nur für registrierte und freigeschaltete Mitglieder sichtbar. Jetzt registrieren...]

Der Thread gehört übrigens in Schule. Also bitte verschieben.

also meine Frage war :
wie kann man von der Koordinatenform in die Parameterform kommen ohne die Spurpunkte zu benutzen. Am besten so wie es die lehrerin gemacht hat... aber ich weiß nicht wie sie das gemacht hat

Es gibt ja nicht nur die eine Parameterform sondern unendlich viele. Wenn man in einen Punkt der Ebene den Normalenvektor n aufstellt, dann sind die beiden oben genannten Vektoren u und v senkrecht (normal) zu diesem, können aber in jeder beliebigen Richtung (außer parallel) in der Ebene liegen.
Veranschaulichen kannst du dir das, indem du z.B. einen Bleistift (den Normalenvektor) durch eine Ebene (z.B. eine CD) steckst. Um eine beliebige Parameterform zu erhalten musst du noch zwei Richtungen für die Vektoren als Randbedingungen vorgeben (z.B. die Spurpunkte).

Umgekehrt ist das ganze viel einfacher: Du bildest das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) der beiden Vektoren und erhälst den Normalenvektor n. Jeder Punkt p erfüllt dan die Gleichung n*p = d mit der Konstanten d.

x + 2y -3z - 6 = 0 | nach einer, hier x, koordinate auflösen:

x = 6 - 2y + 3z | setze y = s und z = t =>

x = 6 - 2s + 3t
y = 0 + 1*s + 0*t
z = 0 + 0*s + 1*t

=> Ebene in Parameterform:

(x/y/z) = (6/0/0) + s*(-2/1/0) + t*(3/0/1) :T