Mathe Problem
 

Hallo Mathepros,
unser Lehrer hat uns eine Aufgabe zu Stammfunktionen gegeben und ich komm da absolut nicht weiter - Denkblockade oder so. Ich wüsste gerne wie ihr das lösen würdet. Höchstwahrscheinlich bin ich eh grad ein wenig "dumm" :(
Also:

e^-x / (1+e^-x)^2

Man soll zeigen, dass -e^-x / 1+e^-x eine Stammfunktion von der vorigen ist.

Danke schon einmal mal voraus.

Einfach das zweite ableiten und wenn das erste rauskommt, bisse fertig ;) .Das begründet man dann hiermit:
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mfg sinaj

Wie mien Vorredner schon sagte, einfach das zweite ableiten, da das ja die Stammfunktion von der ersten ist.
hier die Grundform. Der Hochstrich bedeutet du musst das ableiten.
[(-e^-x)`*(1+e^-x) - (-e^-x)*(1+e^-x)`] / [(1+e^-x)²]
Das sieht dann so aus. Der Nenner stimmt direkt.
=>[(e^-x)*(1+e^-x) - (-e^-x)*(-e^-x)] / [(1+e^-x)²]
ausmultiplizieren..
=>[e^-x + (e^-x)² - (e^-x)²] / [(1+e^-x)²]
Im Zähler heben sich die beiden Terme mit ² auf. übrig bleibt deine erste Funktion.

Hoffe ich hab mich nicht vertippt. Diese Schreibweise.. =)

Edit: Vllt. noch zur Verdeutlichung:

f(x) = e^-x / (1+e^-x)^2 <-Funktion
F(x) = -e^-x / 1+e^-x <- Stammfunktion

F(x)`=f(x) <- Stammfunktion abgeleitet = Funktion

f(x)=e^-x / (1+e^-x)^2
F(x)=-e^-x/1+e^(-x)

Es gilt:
f(x)=u/v
f'(x)=(u'*v+v'*u)/v^2

u=-e^(-x) u'=e^(-x)
v=1+e^(-x) v'=-e^(-x)

F'(x)=(e^(-x)*(1+e^(-x))-(-e^(-x))*-e^(-x))/(1+e^(-x))^2
Wenn man das jetzt zusammenfasst ergibt das:
F'(x)=e^x/(1+e^x)^2

Sollte ich mich nicht verrechnet haben ist:
F'(x) != f(x)

Ich weiß nicht ob ich den Kram richtig gerechnet habe aber der Weg sollte stimmen ;)