Matheproblem->Quadratzahlen
 

In der Aufgabe wird ein Beweis verlangt, dass Quadratzahlen deren die Ziffern absteigend sind und mindestens 3 Stellen haben (961,841, A>B>C>D>...) immer auf eine 1 enden. Ich komm beim besten Willen nicht drauf wie das zu beweisen ist. Ich habe bis jetzt grade mal 2 Zahlen (961,841) gefunden, die das Kriterium erfüllen. Die Begründung fehlt mir aber völlig.

Naja das liegt daran, dass es nur diese 2 Zahlen gibt die das erfüllen.
Ein wirklicher beweis fällt mir nicht ein, aber man kann 2,3,7,8 auswschließen weil es keine Quadratzahlen gibt die darauf enden. Und 9 ist es ebenfalls nicht ;) .Also muss man noch zeigen das es weder 4,5 oder 6 sein können. Da die Quadratzahlen zwischen 10 und 31 liegen gibts also noch 8 zahlen die man überprüfen muss, aber ein beweis ist das eig nicht :/

Bist du noch Schüler oder wo muss man sowas machen?

Sieht mir verdächtig nach Mathe-Olympiade oder so was ähnliches aus :D

Jap es ist Matheolympiade XD
Aber im Gegensatz zum Bundeswettbewerb steht hier weder was gegen fremde Hilfe noch muss ich unterschreiben, dass ich es alleine mache :D

Und welche Runde ist das ? Ich find die Aufgabe nämlich iwie krumm ;)
Sag bescheid wenne noch mehr denkanstösse brauchst :D

Wenn du dann noch beweisen würdest, dass Quadratzahlen größer als 31 keine absteigende Ziffern haben wäre das ein Ansatz. Ich habe auf anhieb leider keine Idee, aber vielleicht kann man mit der binomischen Formel hantieren.

Quadratzahlen größer als 31 sind nicht mehr dreistellig. Der Beweis, dass dort keine Zahlen mit absteigenden Ziffernfolgen kommen, scheint mir daher überflüssig

Ich denk mal es geht nur um dreistellige Zahlen

jepp das ist sicherlich der Ansatz, aber es wird irgendwie kompliziert, weil man ja die einzelnen Ziffern betrachten muss, aber man ja wenn eine ziffer größer als 10 wird muss ne 1 zur nächsten addieren und kp wie man das mit der binomischen Formel in Einklang bringt :confused:

erscheint mir nicht so überflüssig

@Pilot: Nur absteigende ziffernfolge. Also 1. Ziffer > 2. Ziffer > ... > n. Ziffer usw.

Ja dann find mal eine mit mehr als 3 stellen, hab grad mal die ersten 1000 quadratzahlen überflogen und nach denen mit ner 1 am ende geachtet, hab keine gefunden :D

Da es zu Verwirrungen kommt post ich mal die ganze Aufgabe und bisherigen Ansatz:
Wenn man aus der Zahl z=987654321 einige Ziffern streicht und die Reihenfolge der restlichen Ziffern beibehält, erhält man eine neue Zahl mit weniger Ziffern.
a)Ermitteln Sie alle Quadratzahlen, die beim Streichen von sechs der neun Ziffern enstehen können:
Lösung: Die oben genannten 31^2=961 und 29^2=841
b)Karl behauptet: "wenn man die Ziffern 1 und genau drei weitere Ziffern streicht, so erhält man niemals eine Quadratzahl".
Beweisen Sie diese Aussage oder widerlegen Sie diese Aussage mit einem Gegenbeispiel.
Lösung(sAnsatz): Bin mir grad nicht mehr sicher ob es zwischen 100 und 100000 überhaupt eine Zahl gab die nicht auf 1 endet oder ob es überhaupt keine gibt. Wenn man beweisen könnte das es nur 961 und 841 bzw 64 und 81 gibt wäre die Aufgabe gelöst.

zu b)
Da Quadratzahlen immer auf 0,1,4,5,6 oder 9 enden, muss man aus den Ziffern 987654321 zusätzlich zu der eins auf jedenfall die 2 und die 3 streichen. Da man aber 3 Ziffern streichen sollte, bleiben folgende Zahlen übrig nachdem man noch eine weitere Ziffer gestrichen hat:
98764,98754,98654,97654,87654 und 98765

Nun bestimme ich mögliche 2 stelligen Endziffern für Quadratzahlen.
Den Einer einer Zahl bezeichne ich nun als "b", den Zehner als "a".
Quadriert man "ab" (= 10*a+b) erhält man 100*a+20a*b+b*b.
Die letzten beiden Ziffern des quadrates von "ab" können demnach nur folgende Kombinationen sein:
00,01,04,09,16,21,24,25,29,36,41,44,49,56,61,64,69 ,76,81,84,89,96

Demzufolge sind 98765,98754,98654,97654,87654 keine Quadratzahlen.
Auf die selbe Art und Weise kann man noch überprüfen, dass 98764 keine Quadratzahl ist, indem man z.B. die letzten 3 Ziffern überprüft.

Vielleicht überblick ichs gerade nicht, aber man soll doch 6 Stellen streichen ??

Demnach ist der Rest dann auch falsch, und von der Idee her listest du auch nur alle Möglichkeiten auf, das is ja eher kein Beweis :confused:

Bei Aufgabenteil a) ja, aber er ist wohl auf Aufgabenteil b) eingegangen. Ein direkter Beweis ist es nicht, aber vom Ansatz her ist das doch sicher schonmal nicht schlecht, auch wenn es sicher ein längerer weg ist den man gehen kann. Bin mir sicher, dass es einen kürzeren Beweis gibt. Weil bei diesem Ansatz müsste man zuerst beweisen, dass Quadratzahlen nicht auf 2 oder 3 enden können, bevor man auf den Rest eingehen kann. Ich habe momentan aus familiären Gründen nicht wirklich den Kopf um mich damit auseinanderzusetzen. Ich weiß ich bin nur am meckern wie man es nicht machen soll und bringe keine besseren Vorschläge, sorry dafür.

oops :) hat ich gar nicht gesehen.

Wenn man bei der b) auf diese zahlen gekommen ist: 98764,98754,98654,97654,87654 und 98765 könnte man auch zeigen
315^2= 99 225 und 314^2=98 596 und dazwischen liegen keine Quadratzahlen :D , also bleibt nur noch 87654 und damit könnte man dasselbe machen ( 296^2 = 87 616 und 297^2 = 88209 )

Also ein hinreichender Beweis ist es definitiv, einfach alle Zahlen, die in Frage kommen, zu überprüfen.

1) Die Zahl muss zwischen 10 und 31 liegen (da 3-stellig, einfach zeigen 9² < 100 und 32² > 999)
2) So bleiben noch 20 Zahlen und ihre Quadrate über -> alle aufschreiben, und voil�* steht es da.
=> sicherlich kein schöner Beweis, aber "Bruteforce" ist in der Mathematik nicht verboten, wenn auch verpöhnt ;)

Eventuell kannst du einen Beweis via Widerspruch formulieren.
Angenommen, es gäbe eine Zahl a*100+b*10+c*1, die Quadrat ist mit a>b>c und c != 1.
Für c = 0, 2, 3, 7, 8 fällt die Betrachtung weg, da ein Quadrat auf 1, 4, 5, 6, 9 endet.

Fall 1: Sei c = 9 -> Widerspruch da b > c
Fall 2: Sei c = 6, so bleibt nur a = 9 oder 8, b also gleich 8 oder 7, Widerspruch da 986 und 976 und 876 keine Quadrate sind.
Fall 3: ... usw.

Im Endeffekt bleibt stehen: c = 1.

Ausprobieren gillt als Beweis, solange die Möglichkeiten endlich sind und man wirklich alle Möglichkeiten ausprobiert, was auf diese beiden Fälle zutrifft (Teilaufgabe a) und b))

zu a)
Hier sind Zahlen gesucht, die 3-stellig sind und zudem (mit a=10^2, b=10^1, c=10^0 & alle Zahlen somit als abc dargestellt) a>b>c ergeben. Das soll heißen, dass die Stelle a eine größere Zahl ist als die Stelle b und diese wiederum eine größere Zahl ist als an der Stelle c. Dies trifft tatsächlich auf 841 und 961 zu, denn 29^2=841 mit 8>4>1 und 31^2=961 mit 9>6>1
Anfangen kann man mit allen Zahlen, deren Quadratzahl ein 3-stelliges Ergebnis liefern und das sind alle Zahlen von 0-31. Dann kann man alle Zahlen streichen, bei denen nicht a>b>c und somit erhält man durch Ausschlussverfahren die oben genannten Ergebnisse.

zu b)
Hier sind alle Zahlen gesucht, die
1. 5-stellig sind und
2. die nicht auf 1 endet und
3. deren Quadratwurzel eine ganze Zahl ergibt und
4. bei der die 5. Stelle > 4. Stelle > 3. Stelle > 2. Stelle > 1. Stelle (a>b>c>d>e).

Die erste Bedingung wird von allen Zahlen zwischen 100 und 316 erfüllt, denn diese Zahlen liefern quadriert ein 5-stelliges Ergebnis.
Die zweite Bedingung wird von allen Zahlen erfüllt, die nicht auf 1 oder 9 enden, denn diese Zahlen liefern quadriert immer eine 1 an der letzten Stelle.
Die dritte Bedingung überprüfen wir nun indem wir alle Zahlen von 100 - 316 in Excel oder Open Office Calc in die erste Spalte eingeben und dann in B1 Spalte "=$A1*$A1" eingeben und danach Enter drücken und nun das Feld B1 markieren und unten rechts an diesem Feld auf den Punkt klicken (da erscheint vorher ein dickes Kreuz) und dann so weit nach unten ziehen wie Zahlen in der linken Spalte stehen. Danach löschen wir alle Zeilen, bei denen die Zahlen in der 1. Spalte auf 1 oder 9 enden oder in bei denen die Zahlen in der 2. Spalte auf 1 enden (man muss nur einen von beiden Schritten machen, denn das sind die gleichen Zeilen, die man dabei löschen würde). Nun schauen wir uns die restlichen Zahlen in der zweiten Spalte an, bei denen die erste Stelle eine größere Zahl besitzt als die zweite usw. (siehe 4. Bedingung) und markieren diese Zahlen. Wir werden nun feststellen, dass es keine zu markierenden Zeilen gibt und Karl somit Recht hatte.

Gruß
MWvXvWM

(Die genaue Beschreibung der Bedienung von Excel bzw. Open Office Calc ist nur für diejenigen da, die sich mit der Bedienung nicht auskennen, da ich dies schon zur genüge erlebt habe. Ich bitte alle diesbezüglich gebildeten Leute um Nachsicht hinsichtlich dessen. Danke!!!)

Gibt es denn keinen schöneren Beweis?

Ausprobieren finde ich irgendwie nie zufriedenstellend, obwohl es hier offensichtlich hinreichend ist. :/

Eine Idee habe ich allerdings auch nicht.