[Mathe]lin. homo. DGL
 

hey,

ich habe mal ne kurze frage und zwar weiß ich nicht ganz wie ich an diese aufgabe ran gehen soll..würde mich freuen wenn jemand mir helfen könnte

Geg: Y´´+2ay´+y=0 -->a€R

kann a so gewählt werden, dass die folgenden funktionen lösungen der dgl sind? begründen?

a) f1(x) = x | f2(x) = e^x

b) f1(x) = e^x | f2(x) = 1

c)f1(x)= cos(-x) | f2(x) = sin(x)

d) f1(x) cos(x) | f2(x) = sin(-x)

e) f1(x) = pi | f(x)= (7)^1/2 * x | f3(x)= 1+x


danke

Ich hab homo gelesen, wo gehts ab, wer wird gedisst??

a kann positiv, negativ oder null sein, das sind die drei fälle die man unterscheiden muss.
für a=-1 erfüllt bei teil a) zum beispiel f2 die dgl

oder sollen etwa beide funktionen jeweils die dgl erfüllen? ich bin mir jez zwar nich sicher, aber wenn a aus den reelen zahlen ist , dann ist das bei einer homogenen dgl gar nicht möglich

Ich würde ganz einfach beide Lösungen einsetzten und schauen ob sie die Gleichungen erfüllen.
Nennt man Probe machen, amn kann sich das ganze auch überlegen, sind aber ein paar Fallunterscheidungen notwendig

auf die schnelle würd ich sagen c) und d)

ja es sollen immer beide bzw bei e sogar alle drei die lsg sein...


einsetzen mm.. für aufgabe a würde es ja soaussehen
y= x + e^x
y´=e^x
y´´=e^x

e^x + 2ae^x + e^x + x = 0
e^x(2a+x)=0
e^x kann ja nicht null werden..aber kann man als lösung sowas angeben a= -x/2 ?

a) e^x + 2a(1 + e^x) + e^x + x = 0
>>> e^x(2a+2) + x + 2a = 0 es gibt kein a aus R, dass das für alle x erfüllt.
b) e^x + 2ae^x + e^x + 1 = 0
>>> e^x(2a+2) + 1 = 0 es gibt kein a aus R, dass das für alle x erfüllt.
c)-(cos(x) + sin(x)) + 2a(cos(x)-sin(x)) + cos(x) + sin(x) = 0
>>> 2a(cos(x)-sin(x)) = 0 >>> a=0
d)-(cos(x) - sin(x)) - 2a(cos(x) + sin(x)) + cos(x) - sin(x) = 0
>>> -2a(cos(x)+sin(x)) = 0 >>> a=0
e) 2a(1 + sqrt(7)) + pi + sqrt(7)*x + 1 + x = 0
>>>(1 + sqrt(7))*(x + 2a) + 1 + pi = 0 es gibt kein a aus R, dass das für alle x erfüllt.

also ich glaub nich das man zum beispiel a=-x/2 angeben kann weil es gilt ja a€R ,aber ich weiß nicht ob das a ein parameter ist oder nicht, Natürlich wird die Dgl aber gelöst wenn das a von x abhängt und das ist auch in der definiton von lin. homo. Dgls enthalten. So gesehen könntest du einfach alles nach a auflösen und wärst ferig.

Da a eine reelle Zahl seien muss, gibt es einfach keine Lösung. Wie gesagt c) und d) sind Lösungen der DGl, die anderen nicht.

ja aber a is auch eine reelle, zahl wenn es von x abhängt, weil x auch eine reele zahl ist ! Ich find beide Lösungen krumm, einmal kann a nur null sein, bei der anderen sind alle teilaufgaben lösbar.

ich verstehe nix ... ich kann nur die vier Grundrechenweisen.
Erkläre mal bitte für alle genau, und dann etwas genauer ... gut wäre in Bilder (Geometrie) dann auch, weil wegen den Zahlen, da hat es ja nicht jeder mit.

LG

y' = 1 + e^x

Sorry, aber nur mit +-*/ wirds da wohl etwas schwierig. Ich würde mal etwas über Differentialgleichungen lesen und dan kongrete fragen stellen.

^^ da hast du schon recht...habe auch falsch ausgeklammert naja..

danke euch nochmal...

aber habe jetzt ne neue frage..hoffe es ist okey wenn ich die frage frage..

was ist wenn ich jetzt ne inhomo. gl gegeben habe und die allg. lösung meiner homo. gl. so aussieht
y=A*X + b und der ansatz meiner störfunktion y= c0 liegt da ne resonanz vor ? es wurde mir gesagt wenn eine funktion der störfunktion im allg. lösung der homo. teil vor kommt..handelt es sich um ne sonderfall.... in der störfunktion kommt ne zahl vor und in der allg. lösung meiner homo. teil auch..aber ist es ne resonanz?

danke!

Tut mir leid, aber die letzte Frage versteht wohl keiner so richtig... Schreib doch mal die Aufgabe hin, so wie oben.

okey

eine inhomogone gleichung sieht ja so aus z.B. y´´+2y = 8

man bestimmt ja zuerst die lösung der homogenen teil d.h. y´´+ 2y =0
darauß bastelt man sich ne allg. lösung..sagen wir mal die sieht dann so aus yh= A*X+B ... A,B € R

nun ist der ansatz für die störfunktion..das ist ja die 8 -> ys= C ...C €R

meine frage ist.. ob da ne resonanz vorliegt?

Wenn deine homogene Lösung yh=Ax+B ist und deine Störfunktion eine konstante must du als Ansatz yp=C*x^2 nehmen. Einfach den Ansatz mit x oder x^2 multiplizieren, das er sich von der homogenen Lösung unterscheidet.

Ich hab leider keine Zeit mich da jetzt intensiv mit dem Lösungsweg zu beschäftigen und ich verstehe auch nicht, was mit "Resonanz" gemeint ist.

Die Lösung von Mathematica lautet y(x) = 4 + C1 Cos(sqrt(2) x) + C2 Sin(sqrt(2) x)

Eine einfache und elegante Lösung lineare gewöhnliche DGL zu lösen ist übrigens die Laplacetransformation.