Berechnung: ln x
 

Hallo Leute!

Ich brauche eure Hilfe, es eilt! :D

Ich habe folgende Aufgabe bis morgen zu lösen:

Bestimmen Sie die Anzahl der Lösungen der Gleichungen:

ln x = -x/3
ln x = x/3

Skizzieren Sie dazu die Graphen der Funktionen ln x, -x/3, x/3

Begründen Sie mittels Zwischenwertsatz für stetige Funktionen die Existenz der Lösungen.

Ich habe echt keinen Plan wie ich auf das x komme. Ich habe schon herumgeformt wie ein Blöder, doch das "beste" Ergebnis, auf das ich komme war x^x = e^3

Wie soll ich das bitte berechnen?

du sollst nicht den wert der lösungen angeben, sondern nur zeigen, dass es welche gibt
also skizzierst du die graphen und schaust nach schnittpunkten. zwischenwertsatz werdet ihr ja gehabt haben.

diese gleichung ist analytisch nicht lösbar, da kann man sich nur numerisch annähern. deshalb bringt es auch nichts, die gleichung umzuformen ;)

edit: seh grad es war eh zu heute, also kommt das wohl zu spät. naja sorry :P

Zeichne ln x -> Streng monoton wachsend, stetig.
Zeichne x/3 -> streng monoton wachsend, stetig.

Sei nun s1 := ln(x0) € [a,b] und s2 := x1/3 € [a,b] so werden sich die Grafen nach dem Zwischenwertsatz irgendwo in [a,b] treffen.
Da beide streng monoton gibt es nur einen Schnittpunkt.

Selbige Argumentation für -1/3x (str mon fall.)

falsch ;)

zeichne mal ln(x) und x/3 auf. es sind zwar beide streng monoton wachsend, aber das heißt nicht, dass sie sich nur einmal treffen können. nicht mal dass sie sich überhaupt treffen müssen. ganz im gegensatz zum -x/3 fall.

man kann argumentieren, dass es x gibt wo ln(x)<x/3 und x wo ln(x)>x/3 gilt. da bei stetigen funktionen jeder wert mindestens einmal eingenommen wird, heißt es, dass mindestens ein schnittpunkt vorliegt. wenn man die ungefähren schnittpunkte kennt (zb mit GTR), sollte es nicht schwer fallen 3 beispiele zu finden.
also einmal ln(x)<x/3, einmal größer und einmal wieder kleiner, sodass man behaupten kann, dass mindestens 2 schnittpunkte existieren.

Oh sorry, meinte natürlich "einen Schnittpunkt in [a,b]" ;)