[uemit33]

Stellt der unendliche Dezimalbruch
1,01001000100001…eine rationale Zahl dar?


Was hat das mit den periodischen und nicht periodischen und irrationalen Zahlen auf sich?

Bin ziemlich verwirrt durch die unterschiedlichsten Erklärungen im Internet.

[sinaj90]

Zitat von uemit33

Stellt der unendliche Dezimalbruch
1,01001000100001…eine rationale Zahl dar?

Diese Zahl ist ein unendlicher nicht-periodischer Dezimalbruch, dass heißt sie ist irrational. Das Wort Dezimalbruch ist hier ein bisschen verwirrend, weil man irrationale Zahlen nicht als Bruch darstellen kann, bzw jede Zahl, die man nicht als Bruch schreiben kann ist irrational.
Alle periodischen Dezimalbrüche sind rational, weil man sie als Brüche schreiben kann.

[Partyanne]

wie mein vorredner schon sagt,

jede natürliche zahl (1..unendlich), ganze zahl (-unendlich..unendlich) lässt sich auch als bruch (rationale zahl) darstellen. der wertebereich ist natürlich wiederum größer.

eine zahl die nicht als bruch dargestellt werden kann (zb Pi) ist irrational.

alle mengen zusammen ergibt die menge der reellen zahlen. also jede beliebige zahl auf einer zahlengerade.


<------------------0---1----2--------->
-unendlich ..................................unendlich

[uemit33]

also sind dann die reelen zahlen sozusagen alle zahlen? also natürliche, ganze, rationale, irrationale?

[HappyMike34]

Die Zahl lässt sich schreiben als

M = 1 + 10^-2 + 10^-5 + 10^-9 + 10^-14 + ... + 10^-kn

mit kn = Summe(i) für i = 2...n = 1 + n(n+1)/2

somit ist

M = 1 + Summe(10^-[1+ n(n-1)/2]) für n = 2..unendlich

Nun muss der Beweis gefunden werden, dass sich M nicht als p/q mit p,q € N darstellen lässt.

[keks3000]

@uemit33:

Reelle Zahlen sind die von dir aufgelisteten. Und das sind auch "sozusagen alle".

Aber es gibt noch eine Zahlenmenge in der die Reellen Zahlen nur eine Teilmenge darstellt: die Komplexen Zahlen.

Diese braucht man aber wirklich nur in den höchsten Formen der Mathematik, daher nutzen diese vermutlich nur die wenigsten.
Um es sich einfach zu veranschaulichen: Die Reellen Zahlen sind ALLE Zahlen auf einem Zahlenstrahl. Komplexe Zahlen erweitern diesen Strahl noch um eine weitere Dimension und haben deshalb auch relativ seltsame Eigenschaften.
Ich weiß nicht ob diese Metapher wirklich stimmig ist, aber so konnte ich mir diese Zahlenmenge immer halbwegs vorstellen. Damit gerechnet habe ich noch nie.

[stalker32]

nur in den höchsten formen würd ich jetzt nicht sagen. in den naturwissenschaften und als ingenieur gehört das so ziemlich zu den grundlagen . das mit den 2 dimensionen kann man aber schon so stehen lassen, eine reele dimension und eine imaginäre dimension. man spricht da von realteil und imaginärteil.
aber in der schule hat man es meistens nicht

[HappyMike34]

In der Elektrotechnik vereinfacht sich in der Betrachtung von Wechselstrom und von Wellen und Schwingungen so einiges, wenn man komplexe Zahlen verwendet. Das kommt ziemlich häufig vor.

Eine Verallgemeinerung der komplexen Zahlen sind übrigens die Quaternionen, die drei imaginäre Komponenten besitzen.

[keks3000]

Zitat von stalker32

in den naturwissenschaften und als ingenieur

Das sind die höchsten Formen der Mathematik. Überleg mal wieviel Prozent der Menschheit wohl in solchen Bereichen rechnen.

Natürlich gibt es auch darüber noch die (theoretische) Forschung, aber mir war schon bewusst was ich geschrieben hab.

[stalker32]

naja ... ich kenne durchaus leute, die das auch in der schule angerissen haben. und mir ist kein studiengang (in dem mathe vorkommt, geisteswissenschaften außen vor) bekannt, die keine komplexen zahlen haben. kommt sicher auch bei einigen ausbildungen vor. es ist wirklich kein hexenwerk
wenn ich überleg, was wir sonst noch so in mathe hatten .... huiuiui .... da hab ich die hälfte schon wieder verdrängt ^^

vielleicht ist mein weltbild aber auch verklärt...

[Dante1253]

Zitat von stalker32

vielleicht ist mein weltbild aber auch verklärt...

Eher nicht, zum Teil wird C in der Schule behandelt, aber definitiv in jeder mathematischen Grundvorlesung. Gibt natürlich noch andere, algebraische Zahlkörper wie die p-adischen Zahlen, aber die sind dann der Zahlentheorie vorbehalten

@TE in einfachen Worten "rationale Zahlen":
Jede Zahl, die du als Bruch, also als a/b schreiben kannst, ist eine rationale Zahl... dazu gehören Brüche wie 1/3, 7/4, aber natürlich auch ganze Zahlen wie 6 = 6/1.

Wenn du nun einen Bruch a/b hast, dann kannst du ihn entweder als Dezimalzahl mit endlichen Nachkommastellen darstellen (genau dann, wenn b nur die Primfaktoren 2 und 5 in sich hat), oder als periodische Dezimalzahl wie z.B. 1/9 = 0,1_ ...
Wenn du nun eine Zahl mit unendlich vielen Nachkommastellen hast, die nicht periodisch wird (wie deine am Anfang), dann kannst du sie niemals als Bruch darstellen (kannst es ja mal versuchen, wird immer nur näherunsweise gehen - bekannte Beispiele dafür sind die Wurzeln, wie Wurzel(2), das wird ja meistens sogar in der Schule bewiesen.