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Nullstellen, Substitution etc.
Moin,
Ich komme gerade bei folgenden Aufgaben nicht weiter. Es sollen die Nullstellen bestimmt werden... f(x)=(1-2x)(x-2) Hier würde ich x ausklammern, aber wie? Und wie komme ich dann an die Nullstellen? (0,4u-1,2)(u²+4) Hier weiß ich mit der Potenz nix anzufangen (aber vom Prinzip ist die der 1. Aufg ähnlich). 1/2x+2/3x² wie hier vorgehen? In der nächsten Aufgabe geht es um Substitution... Was ich dazu schon sagen kann: x² wird durch z ersetzt um die gleichung mit der pq-Formel lösen zu können. Stimmt das? Und wie funktioniert das in der Praxis? f(x)=x^4-13x²+36 f(x) =16x^4-40x²+9 f(x) = (x+1)³+(x+1)²-6(x+1) In einer weiteren Aufgabe sollen die Nullstellen "durch gezieltes Probieren" bestimmt werden. Das geht angeblich mit Zahlen zw. -5 bis +5. Soviel weiß ich... f(x)=x³-6x²+11x-6 Ich habe mir bereits nen Wolf gegoogled und komme einfach nicht drauf... Heeelp. Mfg |
#1:
f(x)=(1-2x)(x-2) Wieso denn ausklammern, der Term steht doch schon in einer Form da in der du die NST leicht ablesen kannst. 1. NST: 1-2x = 0 --> x=0,5 2. NST: x-2 = 0 --> x=2 #2: (0,4u-1,2)(u²+4) Selbes Prinzip. Sobald eine Klammer Null ergibt wird der ganze Term Null. Einfach genauso machen wie das obere, hier hast du halt Kommazahlen und musst die Wurzel ziehen. (Achte auf das Quadrat +,-) #3: Mal x² --> (1/2)*x + 2/3 //Deine Schreibweise kann man zweideutig interpretieren... #4: f(x)=x^4-13x²+36 --> f(x)=z²-13z+36 --> Mondscheinformel --> Resubstitution #5: Einfach ausprobieren! Edit: Bisschen zu spät, dafür ausführlich ;) |
edit: ahh sorry hab die erste antwort falsch gelesen :D
__ bullstellen heisst x zu bestimmen also f(x)=(1-2x)(x-2) also zuerst nullsetzen das stimmt schon, dann haste 0=(1-2x)(x-2) so dann den satz vom nullprodukt benutzen 0=1-2x ^ 0=x-2 ^ bedeutet und; dann einfdach nach x umstellen und zack hast du die nullstellen ;) |
@HansWim: So einfach ist das also @,@ und ich suche nach einer hochkomplexen Matrix....
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Zitat:
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eigentlich wollte ich gerade Hans zitieren und schreiben: Achte lieber darauf, dass du aus -4 nicht die Wurzel ziehst (zumindest solange du dich in den reellen Zahlen befindest) ;) [nicht böse sein Hans]
Jo ist richtig. Bei der letzten, kleiner tip: es gibt 3 verschiedene x (also keine doppelte nullstelle) und alle gesuchten x sind ganzzahlig. Du wirst da relativ schnell fündig. Starte doch einfach mal mit 0 und gehe dann aufwärts. Und wenn du bei 5 immernoch nicht alle haben solltest dann machste mal mit -1 weiter :p f(x) =16x^4-40x²+9 -> da teilst du am besten mal durch 16, da du ja mit pq formel arbeiten willst. Bei der ABC Formel müsstest du das nicht. Und dann analog wie Hans schon mitteilte, substituieren. Später die Resubstitution nicht vergessen. Angenommen du setzt x²=z und bekommst für z die lösungen: 4 und 9. Dann setzt du: z1=4 => x² = 4 => x1 = -2 x2 = 2, z2=9 => x² = 9 => x3 = -3, x4 = 3 (die zahlen direkt nach dem x sollen Indizes sein) f(x) = (x+1)³+(x+1)²-6(x+1) -> Was fällt dir auf wenn du den Term anschaust? Da kannst du jetzt mit etwas arbeiten, was du im ersten Post erwähnt hast ;) Die Lösung ist hier mal gespoilert, bitte erst selbst probieren und erst zur Überprüfung bzw. wenn nicht mehr weiterkommst benutzen. Denn das wichtigste in der Mathematik ist ÜBEN ÜBEN ÜBEN. Nur wer viel übt ist in Mathe sehr gut. Dann braucht man nichtmal mehr ein Über-Genie zu sein. |
Habe hier erstmal n paar weitere aufgaben wie 1 & 2 gelöst:
>>Habe bei f(x)=1/2x+2/3x² nun als Nullstellen 0 und -4/3 rausbekommen. Stimmt das so? Nächste Aufgabe: f(t)=2t²-(1+sqrt/2)t .. keine Nullstellen?! bzw 0 ?! Hatte vor dem rechnen zu 2t²-2,414t "umgeformt". Darf man das zu -0,59t zusammenfassen (immer noch mit dem Ergebniss dass es nur die Nullstelle 0 gibt) ? |
Noch eine knifflige Aufgabe:
f(x)=3u²-1/3u^4 Jetzt kann man ja eigentlich u ausklammern.. u²(3-1/3u²) .. Als Nullstelle käme 2,41blabla raus. O.o |
Zitat:
Bitte dran denken: Punkt vor Strich!!! |
Danke!
Das mit der Rücksubstitution kann ich aber nicht nachvollziehen. Fängt damit an dass ich -4 und -9 (miiiinuuus) raushabe. Was genau ist danach zu tun? Du hast da doch nicht etwa jeweils 2 Nullstellen raus @,@ ... Oder Moment mal... ist mein p= MIIINUUSS 13? Falls ja, wie ist das minus zu verwursten? O.o |
Zitat:
-4/6+2/3*16/9= -4/6 + 32/27 -> oh ne stimmt nicht, wollte eigentlich durch einsetzen überprüfen, aber das geht nicht auf. Also rechne ich halt doch selber :p x(1/2+2/3x) = 0 => x1 = 0 1/2+2/3x = 0 => 2/3x = -1/2 => x = -3/4 => huch, wahrscheinlich hast du dich nur verschrieben ^^ bei der f(t): Eine Lösung ist ja wieder offensichtlich 0. t(2t-(1+sqrt(2))) = 0 Also bleibt noch: 2t - (1+sqrt(2)) = 0 , lass dich doch nicht so von der wurzel irritieren. Ist ganz einfach ;) 2t = (1+sqrt(2)) jetzt teilste noch durch 2 t= (1+sqrt(2))/2 => Das reicht dem Lehrer eigentlich schon, Dezimalzahlen sind da meist unerwünscht! Aber als Dezimalzahl wären es dann: t= (1+1,41)/2 = 2,205 Zu der Frage ob man das zusammenfassen darf: Wahrscheinlich bist du einfach schon ein bissel zu müde, aber die Antwort ist dir selbst klar, da bin ich mir ziemlich sicher! Nein darfst du nicht! Du hast ja 2 verschiedene Exponenten, einmal t² und einmal t. Ist ja nichts anderes wie beim x. x²+x würdest du doch auch nicht zu 2x zusammenfassen. Ganz davon abgesehen wäre 2-2,41 = -0,41. Deshalb glaube ich auch dass du einfach grad zu müde bist, du hast 3-2,41 gerechnet und dann ein negatives Vorzeichen davor geschrieben, oder so ähnlich ^^ |
Doch, natürlich habe ich jeweils 2 Nullstellen raus. Das ist nämlich der Regelfall ;) Natürlich gibt es auch Gleichungen bei denen nur eine Nullstelle jeweils rauskommt. Kann auch sein, dass du garkeine rausbekommst, alles ist möglich.
Was hast du daran nicht genau verstanden? Also ist klar, wenn du vorher schon Minus-Ergebnisse hast, dann kannst du nicht rücksubstituieren. Wenn du ein positives Ergebnis hast, einfach die Wurzel draus ziehen und daran denken, dass man beim Wurzelziehen immer ein positives und ein negatives Ergebnis bekommt. f(x)=x^4-13x²+36 z²-13z+36=0 => z1,2= 13/2 -/+ sqrt((13/2)²-36) => z1,2= 13/2 -/+ sqrt(169/4-144/4) => z1,2= 13/2 -/+ sqrt(25/4) => z1= 13/2 - 5/2 = 8/2 = 4 z2= 13/2 + 5/2 = 18/2 = 9 Sind beide positiv, weiß nicht was du hast. Ich schätze mal, dass du das Minus nach dem = übersehen hast. Also -p/2. Du setzt ja für p -13 ein. Dann hast du ja -(-13)/2 und das ist gleich 13. Im übrigen war das von mir eigentlich nur ein Beispiel ich hatte keine Ahnung, dass des Ergebnis wirklich 9 und 4 ist ;) f(x) =16x^4-40x²+9 |
Die -4/3 ist kein Zahlendreher und ich brauche nicht müde zu sein um nicht zu verstehen dass man die dingens da nicht zusammenfassen kann :D
Auf jeden Fall thx für die ausführliche Erklärung :T Was sagst Du denn zu Post #11? edit: uuuund nochmal thx! :T Ich guck mal drüber O.o mit den z wird das wohl mathematische Intuition sein ;) |
Bezgl. der pq-Formel: nach z1,2 müsste doch stehen =-13/2 .. [Link nur für registrierte und freigeschaltete Mitglieder sichtbar. Jetzt registrieren...]
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Zu #11 sage ich: Habe mein Beitrag bereits editiert ;)
zu #15 sage ich: Habe mein Beitrag bereits editiert :D |
OMG, war mal wieder klar dass ich mit den Zeichen lumpen lasse :rolleyes:
Danke Dir nochmal! Echt sauber was Du mal eben ausm Ärmel geschüttelt bekommst.. Bei den anderen Aufgaben war auch ich derjenige der unaufmerksam war^^ well, ich werde bestimmt noch die eine oder andere Aufg. posten aber wohl nicht mehr vor 10 a.m. ;) In diesem Sinne: gute n8 |
alles klar, dann kann ich jetzt ja endlich pennen gehen :D
Ich kanns einfach nicht lassen, wenn ich solche Aufgaben sehe blüht doch glatt wieder mein Herz für Mathe auf. Ich sollte nämlich eigentlich momentan eher für meine Klausuren im Mathestudium lernen, aber das hat nichts mehr mit dieser wunderschönen Schulmathematik zu tun :( |
Mathe ist bei mir vom Hassfach zum Lieblingsfach avanciert :T Wenn man erstmal anfängt zu begreifen, machts fast schon SpaSs.
Mhh.. vorstellen kann ichs mir ..aber packst du ganz sicher^^ |
Zitat:
PS: Freut mich, dass du wohl doch noch ein bisschen Spaß an Mathe gefunden hast, MasterOers. Du darfst dich einfach nicht von den Zahlen abschrecken lassen sondern musst die Terme auf das einfachste reduzieren und versuchen sie zu verstehen, der Rest ist ein Kinderspiel. Achja, Schlaf soll bei Lernproblemen auch helfen ;) |
Jo, da wäre auch schon die nächste Aufgabe (es sollen mit "geeigneter Substitution" die Nullstellen bestimmt werden).
f(t) = -9 -2t² +32t^4 Habe jetzt letzendlich z²-2/32z-9/32= 0 aber beim Ausrechnen mit der pq kommen völlig krumme Ergebnisse raus.. |
ergebnis ist t1/2= +/- 3/4
z1 = 9/16 z2 = -1/2 (fällt weg da die wurzel n.d ist) |
Würdest Du bitte noch den Rechenweg Posten?
Kann ich sonst nicht wirklich nachvollziehen,.... |
dein ansatz stimmt soweit, wobei es sinnvoll ist noch ein bißchen zu kürzen
z²-2/32z-9/32= 0 z²-1/16z-9/32=0 p/q formel z1/2= 1/32 +/- (1/1024 +288/1024)^1/2 z1/2= 1/32 +/- (289/1024)^1/2 z1/2= 1/32 +/- 17/32 z1= 18/32 = 9/16 z2= -16/32 = -1/2 resubst. z=t² t1/2= (9/16)^1/2 = +/- 3/4 |
^1/2 = hoch 1/2 = wurzel aus
ist also nur eine andere schreibweise, aber das gleiche mit gemeint |
Kannst Du die pq-Rechnung mit Wurzel aufschreiben?
Bitte kein Freestyle, sonst blicke ich nix... |
Jo ist mir schon klar.
Aber den Rechenweg verstehe ich trotzdem nicht... Edit: hab meinen Fehler gefunden. Wie dumm. |
wo haperts denn?
-P/2 +/- ((p/2)² -q)^1/2 eingesetzt -1/(16*2) +/- ((1/(16*2)² + 9/32)^1/2 -1/32 +/- ((1/32)² + 9/32)^1/2 -1/32 +/- (1/1024 + 9/32)^1/2 unter der wurzel gleichnamig machen -1/32 +/- (1/1024+ 288/1024)^1/2 -1/32 +/- (289/1024)^1/2 wurzel ziehen -1/32 +/- 17/32 |
Hatte die pq-Formel einfach falsch angewandt ;)
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Nächste Aufgabe:
Es sollen die Schnittpunkte des Graphen von f mit den Koordinatenachsen bestimmt werden. f(x)=x(x²-9) f(x)=(x²-5)(x²-x-2) Wieeee? |
nicht von der Aufgabenstellung verwirren lassen. Du hast hier pro Gleichung zwei Aufgaben zu erledigen. Um dir bei der ersten Teilaufgabe ein bisschen auf die Sprünge zu helfen: Was ist denn deine Koordinatenachse? Bzw. auf welchem Y-Wert liegt denn die X-Achse? (ich weiß das ist jetzt ne blöde Frage, aber so gehe ich die Sachen immer an^^)
Hier wie immer gespoilert, was du zu tun hast. Aber bitte erst vorher selbst überlegen, ich bin mir sicher, du kommst da selbst drauf :) |
Danke Dir!
Bin selbst drauf gekommen, aber wie berechnet man den Y-Wert? Da fällt mir nur y = mx+b ein, passt hier nur nich... |
Die Schnittpunkte mit der X-Achse berechnest du indem du die Funktion gleich Null setzt.
Die Y-Werte sind die Ergebnisse der Funktion, heißt: Wenn du den Y-Wert von f(x)=x² and der Stelle 1 berechnen willst setzt du einfach die 1 als X-Wert ein. Jetzt musst du nurnoch überlegen an welcher Stelle die Y-Achse die X-Achse schneidet und setzt diesen Wert als x ein um den Schnittpunkt mit der Y-Achse zu bestimmen. BTW: y=mx+b ist die allgemeine Gleichung für eine Gerade, wobei m die Steigung und b die Verschiebung auf der Y-Achse ist. |
Hans hat in seinem Spoiler ein kleinen Tipfehler, damit der dich nicht verwirrt hier korrigiert.
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Super, danke!!
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