Nullstellen eine Komplexen Funktion berechnen
 

Hey ich habe ein kleines Problem.

Und zwar brauche ich verfahren die Nullstellen von Komplexen Funktionen Berechnen. Für Quadratische Funktionen natürlich nicht. Aber komplexe Polynome höheren Grades. Zum Beispiel

f(z)=z^3-z^2+2

z=x+iy

Es ist nicht gemeint Komplexe Nullstellen von Rationalen Polynomen zu finden. Sondern tatsächlich Komplexe Nullstellen (Anfang von Funktionentheorie)

Und Wolfram Alpha nützt mir in der Klausur auch nichts.

Danke und Gruß

Äääähm... mein Erinnerungsvermögen ist da etwas löchrig, aber meinst du womöglich "Polynomdivision"?

oder einfach Zerlegen in Linearfaktoren ;) und von denen kann man dann ja einfach die Nullstellen ablesen

Bei beiden Methoden brauch man aber mindestens eine Nullstelle...Wie finde ich die erste?

erinnere mich nur ans "Probieren"...
wäre da ober x=-1

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Bei solchen Funktionen ist der einfachste Weg eine der Lösungen zu erraten. Bei Polynomen mit ungerader Ordnung ist mindestens eine Nullstelle reell und du kannst die einfachsten im Kopf durchprobieren. In diesem Fall ist eine Lösung -1 und dann kannst du eine Polynomdivision machen.

Nach meiner Erfahrung kommen bei Prüfungen oder Aufgaben selten Funktionen vor bei der man nicht eine Nullstelle erratet. Ansonsten kann ich dir nur nahelegen, Übungen zum Faktorisieren von Polynomen zu machen. Je mehr man davon macht, umso leichter geht es von der Hand.

EDIT:
Ich sehe gerade, du meinst etwas anderes. Beim Auffinden von Nullstellen bei komplexen Polynomen kann man meist nach dem gleichen Schema vorgehen:

1) Nach z auflösen
2) Betrag von z bilden
3) Winkel phi berechnen in rad (arctan vom Imaginärteil durch den Realteil)

Und dann ergibt sich für die Nullstellen:

w = |z|^(1/n) * e^(i*(phi/n + (2*k*pi)/n) wobei n = Anzahl der Nullstellen und k = 1, ....., n

EDIT2:

In diesem Skript (ab Seite 136) geht es um die Berechnung von komplexen Nullstellen:

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Zum Thema faktorisieren: Ich habe vor paar Tagen dasselbe in einem Matheboard nachgefragt. Ging um das Char. Polynom einer linearen homogenen DGL 5. Ordnung. Das Char. Polynom war

[latex] x^{5}-3x^{4}+5x^{3}-7x^{2}+6x-2=0[/latex]

Habe aus faulheit einfach mal ein x stattdessen des Lambdas genutzt. Ist man hier in der Lage zu faktoriesieren? Ich bekam darauf die Antwort das man Polynomdivision (oder Horner Schema) nutzen muss. Das dauert meiner Meinung nach aber etwas und vielleicht hätte man sich ja diese Zeit mithilfe der faktorisierung ersparen können.

Danke georgebaker

Das ist genau das was ich gebraucht habe. Eine Möglichkeit eine Nullstelle zu finden wenn ich sie halt nicht erraten kann und keine anderen Dinge zur verfügung habe.

@Iliaz

Faktorisieren ist auch nur das Aufschreiben der Nullstellen als Faktoren. Dafür musst du die Nullstellen aber irgendwie anders herausbekommen. Also Entweder du kannst eine Nullstelle abspalten und kriegst dann eine Einfachere Gleichung wo man die anderen Nullstellen sieht oder aber du errätst alle.

Beides ist aber keine Zuverlässige Methode um an die Nullstellen zu kommen. Es gibt noch andere Methoden wie das Newton Verfahren aber dafür brauchst du dann auch einen Computer. Ein Polynom 5. Ordnung wäre mir in der Klausur sehr lieb weil die dann mehr Zeit für das Berechnen von Nullstellen einplanen müssen und das ist nun wirklich kein Problem im Reelen :D

Gruß und Danke