[MasterOers]

Folgende Aufgabe:
Es sollen die Wendepunkte bestimmt werden sowie 2 Tangentengleichungen aufgestellt werden.
Anschließend soll der Flächeninhalt innerhalb ebendiesen Tangenten berechnet werden.
f(x)=1/54x^4-x²
Als Tangentengleichungen hab ich dann:
y=-4x-3 und
y=4x+4,5
Nach Gleichsetzen selbiger um den gemeinsamen Schnittpunkt zu bestimmen habe ich 1,5 rausbekommen.

Was muss man jetzt tun?
Im Matheunterricht meine ich mitbekommen zu haben dass man den gemeinsamen Schnittpunkt in eine (oder beide?) der Tangentengleichungen einsetzen muss und dann die Nullstellen bestimmt..

Helft mir bitte mal auf die Sprünge...

Gruß

[Averlance]

f'(x)= 2/27x^3-2x
f''(x)= 3/9x^2-2
f'''(x)=6/9x

0=3/9x^2-2
2=3/9x^2
6=x^2
-sqrt(6)=x1
sqrt(6)=x2

in f'''(x) einsetzen. Man sieht aber sofort ohne groß zu rechnen: f'''(sqrt(6)) ungleich 0 ungleich f'''(-sqrt(6))
=> x1 und x2 sind die Wendestellen

Nun setze ich das in f'(x) ein.

Also: f'(sqrt(6))= 2/27sqrt(6)^3-2sqrt(6)

=2/27*6*sqrt(6)-2sqrt(6)
=12/27sqrt(6)-2sqrt(6)
=4/9sqrt(6)-2sqrt(6)
=4/9sqrt(6)-18/9sqrt(6)
=-14/9sqrt(6)

Wäre die Steigung zur ersten Tangente. Nun noch den zugehörigen Y Wert der Funktion, damit wir diesen dann in die Tangentengleichung einsetzen können.

y=1/54*-14/9*sqrt(6)^4-sqrt(6)^2
y=1/54*-14/9*36-6
y=-56/54-324/54=-380/54=-190/27

Ach kein bock mehr, sicher dass du dich nicht verschrieben hast? ist ja mal megaquark was da rauskommt...

Naja jedenfalls müsste man jetzt die beiden Werte noch in die Tangentengleichung einsetzen.

Also: y=mx+b

Wir haben y, m und x. Einsetzen und b ausrechnen. (haste ja eigentlich schon selber hinbekommen, bloß eben mit ganz anderen Ergebnissen als ich sie habe).
Ich schätze mal du willst/sollst den Flächeninhalt der mit den Achsen eingeschlossen wird berechnen. Jenachdem wie die Tangenten die Achsen schneiden, kann es sein, dass du mit den Schnittpunkt mit der X Achse (die gewöhnliche Nullstelle) oder den Schnittpunkt mit der Y-Achse (den du ja glücklicherweise schon hast, weil du diesen für die Tangente gebraucht hast) berechnen sollst.

Angenommen deine Ergebnisse würden stimmen:

Gleichsetzen ist ja schonmal nicht verkehrt. Um den Schnittpunkt rauszubekommen.

Also:

-4x-3 = 4x+4,5
-7,5=8x
-75/80=x

Ich nehme mal stark an, dass deine Tangetengleichungen erstens falsch sind, und dass der erhaltene Schnittpunkt auch falsch ist. Aber ich mach mal so weiter als wären deine Tangenten richtig.
Nun wollen wir zu dem x Wert auch den y Wert haben. Dazu setzen wir das x einfach in die Tangente ein:

y=-75/80*4+4,5=-280/80+4,5=-3,75+4,5=0,75
zur überprüfung auch noch in die andere gleichung:
y=-4*(-75/80)-3=3,75-3=0,75

So, nun haben wir den Punkt P (-75/80|0,75). Nun müssen wir uns überlegen wie die Funktionen aussehen. Wir haben aber ein kleines Problem... Es gibt nämlich zwei verschiedene Flächeninhalte. Einen der nur mit der X-Achse in Frage kommt, und einen, der nur mit der Y-Achse in Frage kommt.
Ok, dann gäbe es noch einen wenn man die X-Achse auch noch mit einbeziehen würden, aber dann wäre es wirklich kompliziert, also zumindest bie dem beispiel. Gut, kompliziert ist übertrieben, aber es wäre mehr aufwand

Also angenommen du willst den, der mit der X-Achse eine Fläche bildet. Also du hast ja den X-Wert des Schnittpunktes, jetzt ziehst du dir (wenn du dir überhaupt ne Skizze gemacht hast) eine Gerade nach unten senkrecht zur X-Achse. Und tada, du hast 2 rechtwinklige Dreiecke. Aber wie kommst du nun an die Daten dieser Dreiecke? Na ganz einfach. Du hast ja den X-Wert des Schnittpunktes. Den ziehst du von dem x-Wert der einen Nullstelle ab. Somit hast du die Länge der Grundseite des 1. Dreiecks. Das ganze machst du auch mit der zweiten Nullstelle. Somit hast du die Länge der Grundseite des 2. Dreiecks. Nun brauchst du ja nur noch die Höhe. Aber die hast du ja schon mehr oder weniger durch den Y-Wert des Schnittpunktes gegeben. Nämlich genau den Y-Wert.

Also rechne ich es halt doch noch kurz aus ^^

0=4x+4,5
=> x=-9/8

-9/8-(-75/80)= -15/80 da ne Länge nicht negativ ist, nimmst du den Betrag, also einfach 15/80.

Als höhe hatten wir 3/4 wenn ich mich recht erinner.

Also ist der Flächeninhalt des ersten Teildreicks:

(15/80*3/4)/2=45/640 ich hab grad echt keine lust mehr zu kürzen

Beim zweiten Dreieck funzt es genau gleich. Also:

0=-4x-3

x=-3/4

-3/4-(-75/80) =15/80. Oh, sind die wohl doch gleich? Hm... eigentlich ja logisch, hatten wir doch von der Mitte aus eine Linie runtergezogen... Naja egal, den Flächeninhalt von denen Werten hatten wir ja schonmal bestimmt. jetzt nur noch die beiden flächen zusammenrechnen und du hast den gesamten flächeninhalt.

Nicht anderst funktioniert das, wenn du den Flächeninhalt mit der Y-Achse bestimmen willst. Da ziehst du dann halt ne Senkrechte zur Y-Achse. Die Länge der Senkrechte ist dann halt durch x shcon vorgegeben und die länge der Grundseite musst du halt noch errechnen indem du den y-wert vom schnittpunkt mit der y achse subtrahierst.

Ohje, das war jetzt mal wieder eine Stunde intensivstes Schulmathematik, wenn unsere Klausur nächste woche doch auch nur so "einfach" wäre

p.s. ach machen wir noch schnell den flächeninhalt der von beiden achsen eingschlossen wird, denn der ist am ehesten gefragt. Dazu berechnet man noch den flächeninhalt des dreiecks, welches unterhalb der x achse liegt und zieht es von dem flächeninhalt ab, welches ich als zweites berechnet habe.