Hallöchen erstmal.
Als erstes musst du dir folgendes für alle Aufgaben merken, die etwas mit der H-Methode zutun haben.
lim [f(x+h)-f(x)] / h = f´(x)
h-> 0
Das ist die Formel, die die Ableitung einer Funktion durch die H-Methode errechnet.
Kurz zur erklärung was da passiert:
Man nehme sich eine beliebige Stelle x, an der man die Steigung einer Funktion f errechnen möchte. Dann nimmt man sich eine Stelle weiter weg von x, die man mit x+h bezeichnet. Soll heißen, diese zweite Stelle ist um h weiter als die erste, deswegen +h.
Von beiden Stellen berechnet man den Funktionswert, also f(x+h) und f(x).
Dann fiel weiter oben der Begriff Steigungsdreieck. Genau den bildet man mit den beiden Punkten (x/f(x)) und (x+h/f(x+h)). Da dieses Dreieck nicht ganz die Steigung im Punkt (x/f(x)) beschreibt, lässt man das h gegen 0 (Null) laufen und aus der angenäherten Steigung bildet sich die richtige Steigung, sprich die erste Ableitung. Und da wir am Anfang eine beliebige Stelle x gewählt haben, können wir nun an allen Stellen die Ableitung errechnen.
Nun zu den Aufgaben:
1) f(x)=-3x² ; x0=5
Als erstes bilden wir oben die Formel mit unserer gegebenen Funktion f.
und zwar: f(x+h)=-3(x+h)²=-3(x²+2xh+h²) [Binomische Formel]
f(x)=-3x² bleibt. Nun alles in die Fomel einsetzten
lim [-3(x²+2xh+h²) - (-3x²)]/h = alles eingesetzt
lim [-3x²-6xh-3h²+3x²]/h= Klamern aufgelöst
lim [-6xh-3h²]/h= alle Summanden ohne h "hauen" sich weg
lim [h(-6x-3h)]/h= h aus dem Zähler ausklammern
lim -6x-3h= h wird gekürzt
-6x=f´(x)
da wir lim h->0 laufel lassen, entfallen alle Summanden die ein h enthalten.
Übrig bleibt die Ableitung f´(x).
Nun Setzen wir das x0=5 in die Ableitung ein und erhalten:
f´(5)=-6*5=-30
Versuche mal selber die nächste Aufgabe mit f(x)=x². wenn du damit Fertig bist (oder Hilfe brauchst) melde dich. Die letze Machen wir dann zusammen
MfG Xell