Ableitung einer Funktion berechnen - wie??
 

Hab schon rumgegoogled etc. und komme einfach nicht drauf.

Hier die Aufgaben:
Ich bitte auch um Erläuterung der Vorgehensweise.

Eine Belohnung in Form eines RS-Monatsaccounts wird auf die verständliche Erklärung ausgesetzt!!:T

Danke für euere Zeit.

Also: Eine Ableitung bildest du, indem du die Potenz (Hochzahl) um eins verringerst und die alte Potenz mal den Term nimmst. Also als Beispiel die Ableitung von x²:
1. Potenz um eins verringern = x^1 (x hoch 1)
2. Alte Potenz mal den Term = 2*x^1 = 2x
3. Fertig^^

Ich rechne dir deine Aufgaben mal vor villeicht kannst du an den Beispielen und meiner Erkläreung nachvollziehen wie das funktioniert:

1.
f(x)=-3x²
f'(x)=-6x
f'(5)=-6*5=-30

2.
f(x)=x²
f'(x)=2x
f'(3)=2*3=6

3.
Ich nehme mal an das die Funktion korrekt f(x)=(-x)² lautet, denn das ist meistens so wenn nicht hoffe ich du verstehst trozdem wie man das rechnet. Wenn nicht kann ich das ja dann nochmal mit f(x)=-x² schreiben.

P(2|f(2))
f(x)=(-x)² -> f(2)=(-2)²=4
=>P(2/4)

So eine Tangente ist eine Gerade also brauchst du die Geradengleichung y=mx+b

x=2 und y=4 hast du durch den Punkt bereits gegeben.

m ist die Steigung die berechnest du von der 1. Ableitung. Als x Wert einfach x=2 benutzen, denn du willst ja die Steigung in dem Punkt ausrechnen:

f(x)=(-x)²
f'(x)=2*(-x)^1=-2x dann x einsetzen -> f'(2)=-2*2=-4 (Das ist nun die Steigung m)

Nun musst du nur noch b (den Y-Achsenabschnitt) rausbekommen. Dazu setzt du alle bekannten werte in die Geradengleichung y=mx+b ein und stellst die formel auf b um, also:

4=-4*2+b
4=-8+b | +8
12=b

Die Geradengleichung lautet nun y=-4*x+12 , die ist aber nur für diesen Punkt (2/4) gültig, da die Funktion eine Parabel ist und die anderen Punkte eine andere Steigung haben und sich dadurch auch der Y-Achsenabschnitt verschiebt.

Ich hoffe ich konnte dir damit helfen.

PS: Fals du nun zufrieden bist, musst du mir keinen RS Account geben habe genug Accounts;)

Erstmal vielen Dank für Deine Mühe :T

Also bei uns wird v.A. Aufg. 1 mit der h-Methode gemacht.
Und jo, wäre nett wenn du jeden Schritt so detailliert wie möglich schreibst da ich da sonst nicht mitkomme..

Ich habe von der h-Methode noch nie was gehört, da kann ich dir leider nicht helfen. Die scheint zwar ziemlich gut zu sein, vorallem um schwerere Ableitungen zu bilden von z.B. Wurzeln, aber bis jetzt brauchte ich sie nicht und ich schriebe im Januar Abitur^^. Dann wünsch ich dir mal viel Glück bei der weiteren Suche nach der Antwort xD

Edit: habe die h-Methode doch schonmal gesehen das geht doch nach dem Prinzip mit dem Steigungsdreieck oder?^^ Das ist aber schon lange her.

ja im prinziep schon^^
also das geht in etwa so:

(fx0+) - f(x0))/h= (-3(x0+h)²-x0)/h = (-3x²0 -6x0-3h² -x) / h = -3x²0/h - 6x0h/h - 3h²/h - x = -6x0

tr3ndy, deine Methode ist doch SEHR brauchbar!! Wurde bei mir anscheinend nicht anders gemacht...
Aber eins verstehe ich nicht:

2.
f(x)=x²
f'(x)=2x
f'(3)=2*3=6 ... hat doch nix mit 1. zu tun, oder? (sonst bin ich verwirrt^^)

// doch, hat es nicht^^
ich versuche mal 1 nachzuvollziehen und melde mich nochmal.

Edit: falsch verstanden wir klärem das in ICQ^^

Hallöchen erstmal.

Als erstes musst du dir folgendes für alle Aufgaben merken, die etwas mit der H-Methode zutun haben.


lim [f(x+h)-f(x)] / h = f´(x)
h-> 0

Das ist die Formel, die die Ableitung einer Funktion durch die H-Methode errechnet.
Kurz zur erklärung was da passiert:
Man nehme sich eine beliebige Stelle x, an der man die Steigung einer Funktion f errechnen möchte. Dann nimmt man sich eine Stelle weiter weg von x, die man mit x+h bezeichnet. Soll heißen, diese zweite Stelle ist um h weiter als die erste, deswegen +h.
Von beiden Stellen berechnet man den Funktionswert, also f(x+h) und f(x).
Dann fiel weiter oben der Begriff Steigungsdreieck. Genau den bildet man mit den beiden Punkten (x/f(x)) und (x+h/f(x+h)). Da dieses Dreieck nicht ganz die Steigung im Punkt (x/f(x)) beschreibt, lässt man das h gegen 0 (Null) laufen und aus der angenäherten Steigung bildet sich die richtige Steigung, sprich die erste Ableitung. Und da wir am Anfang eine beliebige Stelle x gewählt haben, können wir nun an allen Stellen die Ableitung errechnen.

Nun zu den Aufgaben:
1) f(x)=-3x² ; x0=5

Als erstes bilden wir oben die Formel mit unserer gegebenen Funktion f.
und zwar: f(x+h)=-3(x+h)²=-3(x²+2xh+h²) [Binomische Formel]
f(x)=-3x² bleibt. Nun alles in die Fomel einsetzten

lim [-3(x²+2xh+h²) - (-3x²)]/h = alles eingesetzt
lim [-3x²-6xh-3h²+3x²]/h= Klamern aufgelöst
lim [-6xh-3h²]/h= alle Summanden ohne h "hauen" sich weg
lim [h(-6x-3h)]/h= h aus dem Zähler ausklammern
lim -6x-3h= h wird gekürzt
-6x=f´(x)

da wir lim h->0 laufel lassen, entfallen alle Summanden die ein h enthalten.
Übrig bleibt die Ableitung f´(x).

Nun Setzen wir das x0=5 in die Ableitung ein und erhalten:

f´(5)=-6*5=-30

Versuche mal selber die nächste Aufgabe mit f(x)=x². wenn du damit Fertig bist (oder Hilfe brauchst) melde dich. Die letze Machen wir dann zusammen :)

MfG Xell

@trendy , das mit der Tangenten kann man aber nicht immer so einfach machen.
Normalerweise nimmt man dazu die Punktsteigungsformel (Google) , bzw. falls der Punkt nicht auf der Geraden liegt den Berührpunkt B(b|f(b))