[emerica-9x]

Hi@

Ich hab folgendes Problem bei einer Mathe Aufgabe,
hab zwar schon den allerersten Schritt gemacht,
komme aber partout nicht weiter :/

Bestimmen Sie die ganzrationalen Funktionen 2. Grades, welche den Graphen
f mit f(x) = e^x im Punkte P(0;1) berühren.

die allgemeine Funktion einer quadratischen lautet ja:
g(x) = ax² + bx + c
und die muss man aufgrund des Punktes mit f gleichsetzen,
da kommt man auf c = 1
-> vorher hab ich noch eingeschränkt, dass a ungleich 0 sein muss,
welche Einschränkung gilt denn für b?

und ab jetzt brauch ich eure Hilfe...
muss man jetzt die allgemeine quadratische Funktion ableiten?
und was danach? :/

danke schonmal im Vorraus!

[Shinato]

also ein berührungspunkt ist ein punkt in dem sich zwei kurven nicht schneiden sondern nur berühren.
dies ist genau dann gegeben wenn beide durch den gleichen punkt laufen und an diesem punkt die gleiche steigung haben.
also musst du die ableitungen gleichsetzen und auch die nicht abgeleiteten darstellungen gleichsetzen

[Whiteshoxx]

Wann muss man denn sowas machen? (ich bin jetzt 10. Klasse und na ja...ich hab kein Plan wovon ihr redet...)

[Xell1986]

Das macht man ab der 12ten Klasse.
Aber die e-Funktion kommt auch im standardfall nicht in der 10ten Klasse vor.
Von daher war der Lösungsansatz deiner Aufgabe gerechtfertigt.
Wie man es ohne Ableitungen herauzsfinden soll, wüsste ich auch nicht!

[Shinato]

also rein theoretisch (habs bei der aufgabe jetzt nicht ausprobiert^^) kann man ja einen berührungspunkt auch bestimmen indem man sich die schnittpunkte anguckt.
wenn es zum beispiel bei einer kurve nur einen Schnittpunkt gibt ist das n Berührungspunkt. das ist aber ... ne menge rechnerei und überlegerei und mit ableitungen gehts doch irgendwie einfacher

[emerica-9x]

bin 11. Klasse Grundkurs ^^
aber man überlegt doch eigtl. dass beide Graphen n Schnittpunkt haben,
sonst würde man C ja nicht rausbekommen?
Da man beide Ausgangsgraphen ja gleichsetzt.

b wäre in diesem Fall ja auch 1,
wenn man das anhand der Ableitungen berechnet.

aber a?
rausbekommen habe ich:

e^x = ax² + bx + c
-> b = c = 1

(e^x - x -1) : x² = a

aber für x darf man keine Null einsetzen ...
aber die x koordinate von dem Punkt ist ja P (0;1)
was soll ich dann machen? :E

bzw. -> 2(e^x - b) : x = a
aber ist letztendlich ja gehuppt wie gesprungen ;D

helft mir bitte! ;O

btw. a muss ja von irgendeiner variable abhängen, da in der
aufgabe ja nach dem Plural der quadratischen Funktionen gefragt ist,
und da gibts ja theoretisch unendlich viele, kommt ebend drauf an
wie man die Parameter wählt.

[Shinato]

also die letzte idee war schonmal gar nicht so schlecht .
du schreibst dir am besten erstmal beide fkt genau auf
f(x)=ax^2+x+1 (nach allem was du bisher weißt g(x)=e^x
f'(x)=2ax+1 g'(x)=e^x
an der stelle sollte uns schonmal auffallen, dass das ganze wahnsinnig schwierig werden könnte für ein bestimmtes aber okay nehmen wir die bedingen dazu: gleiche steigung im punkt (0,1) also*
g'(0)=e^0=1; f'(0)=2a0+1=1

und die zweite bedingung: f(0)=1 also: f(0)=a*0^2+b*0+1....
g(0)=e^0=1
hoffe das hilft

[emerica-9x]

aber man muss es (die quadratische Funktion) allgemein formulieren,
mit einem parameter, der verändert werden kann ... da b = c = 1
wäre dieser parameter ja a.

Aber wie und in welcher Abhängigkeit ?
die Formel von oben

(e^x - x -1) : x² = a

wäre zu einfach, und geht ja eigentlich sowieso nicht :/
ich hab keine Ahnung :E

[Shinato]

du siehst doch in den funktionen, dass sowohl der punkt (0,1) also das schneiden dieses punktes als auch die steigung 1 in diesem punkt völlig unabhängig von a sind
also f(x)=ax^2+bx+x mit b=c=1 und für alle a element |R ...

[emerica-9x]

aber a muss ungleich null sein, von daher schonmal nicht alle Reellen Zahlen.
aber wenn a größer als ein bestimmter Wert ist, schneidet er den Graphen doch
in bestimmten Punkten bzw in einem bestimmten Punkt - also kann das ja doch nicht ganz unbedeutend sein, oder?

übrigens; ist die Formel von a jetzt richtig?
Weil - wie gesagt, a ist am Punkt P(0;1) nicht definiert - weil x = 0 :/
fu eh - was das für ne scheiß aufgabe ;D

[Shinato]

also in der aufgabe steht du sollst eine fkt 2. grades finden die durch den punkt (0,1) läuft und in diesem punkt die steigung 1 hat (wegen berühren mit e^x)
und diese beiden bedingungen sind, wenn du b und c als 1 titulierst was du nachgewiesen hast
völlig unabhängig von a
was die beiden funktionen im weiteren verlauf miteinander anstellen ist nach der aufgabenstellung völlig wurscht
und sry dass ich das mit a ungleich 0 grad vergessen hab

[emerica-9x]

nee, wir sollen ALLE Funktionen 2. Grades suchen
die Aufgabe ist im Plural, d.h. wir müssen sie allgemein beantworten,
also da muss irgendwas mit variablen, die sich nach irgendwas richten,
rauskommen, weißt du? ^^

danke übrigens, dass du dich damit beschäftigst ;O

[Shinato]

es sind unendlich viele funktionen weil a alles sein kann außer 0 auch das ist ein mögliches ergebnis bei einer solchen aufgabe

[emerica-9x]

ums mal zum Abschluss zu bringen;
die Funktion lautet:

f(x) = ax² + x + 1

[boehser_onkel_BO]

danke, emerica!
korrekt ist:
f(x)= ax²+bx+1
man muss kein bisschen rechnen um hierrauf zu kommen. frag mich echt wieso hier so viele posts sind.. lol
parabel um eins nach oben verschieben, der rest is variabel. (alle teile mit x fallen ja bei x=0 weg)

[Xell1986]

boehser_onkel du vergisst eine Sache
Die gesuchte Funktion soll die e-Funktion iom Punkt P BERÜHREN, also bekommt man duch diese Bedingung b raus.
Da die Aufgabe nach mehreren Funktion 2ten Gerades Fragt soll man quasi eine Kurvenschar angeben, die diese Funktionen beschreibt.
Und diese Schar wurde mehrmals hier gepostet.

f_a(x)=ax²+x+1 ; a € IR\{0}

Heißt, a darf alles sein bis auf 0, da sonst die Funktion nicht quadratisch wäre.

[emerica-9x]

ich glaub du siehst das Problem in der Fragestellung.
Ich bin mir auch nicht hundert Prozent sicher dabei,
aber ich glaub bei dir liegt der Fehler im folgenden begraben;
du denkst bestimmt, dass die allgemeine quadratische Funktion mit a > 0
den Graphen wirklich nur in jenem Punkt berühren darf, und in KEINEM
anderen Punkt. Aber ich würde sagen, eben dieser Graph, darf die e Funktion
nur in 0;1 berühren, aber auch in anderen Punkten schneiden.

[boehser_onkel_BO]

hoppala er soll die e funktion nur berühren? sry mein fehler :/

[boehser_onkel_BO]

sry für doppelpost :/

aber: ich hätte noch eine idee, ich hoffe dass sie richtig ist:
a€R\{0}, das bedeutet dass a positiv sein kann --> parabel kann laut dieser definition auch nach oben geöffnet sein. es gibt jedoch meiner meinung nach KEINE nach oben geöffnete parabel, die e^x in 1|0 nur berührt. wenn man gegen null geht, sieht man dass man bei jedem positiven a (und sei es noch so groß) einen schnitt von e^x und keine berührung erhält, und zwar aus dem grund, da e^x eine potenz ist und stärker steigt als ax².
für eine berührung reichen als beweis nicht nur g'=f'; g=f aus.
hierzu ein einfaches beispiel:
berühren sich g(x)=x^3 und f(x)=0 in (0|0)?
g(0)=0 f(0)=0 --> gleicher funktionswert

g'(x)=3x²
g'(0)=0
f'(x)=0
f'(0)=0 --> gleiche steigung

man hat gleiche steigung und den gleichen funktionswert, aber trotzdem berühren sich die graphen nicht, sondern schneiden sich. das soll nur als beispiel dienen um zu zeigen dass diese beiden vorraussetzungen nicht reichen.

ist a negativ, ist eine berührung möglich. hierbei wäre a€ R-
was sagt ihr dazu?

[Shinato]

also wenn du dir denk link hier
http://www.wolframalpha.com/input/?i=g%28x%29%3De^x%2C+f%28x%29%3D2x^%282%29%2Bx%2B1
mal anguckst sehen wir eine nach oben geöffnete parabel die die funktion e^x im punkt (0,1) berührt...
und auch dein anderes beispiel ist falsch da sich die beiden funktionen im punkt (0,0) wirklich nur berühren ...

[boehser_onkel_BO]

komisch..
naja aber zu meinem beispiel: y=x^3 und y=0 berühren sich doch nicht nur, die schneiden sich. y=x^3 geht ja durch die gerade wirklich durch.