[crystaly]

Hey Leute, ich bin im Mathe GK und verzweifele grade an einer Aufgabe, für den Fall, dass ihr auch das EdM (Elemente der Mathematik) vom Schroeder Verlag habt (Qualifikationsphase); Es handelt sich um die Aufgabe auf der Seite 279 (Ebenen im Raum 6.2) die Aufgabe 11.

Gegeben sind die Gerade g: x-> = (2//-3//5) + t (4//-1//-3) und die Punkte A (1/2/0), B (3/5/0), D (1/4/6). Untersuchen Sie ob die Gerade g das Parallelogramm ABCD trifft:

So lautet die Aufgabenstellung. Die Klammern mit den doppelten / stehen für Ortsvektor bzw. Richtungsvektor. Habe leider keine genauen Kenntnisse mit LaTeX um das genauer darzustellen.

Ich habe zunächst einmal versucht C zu berechnen, also C: x-> = OB-> + BC->, da das ein Parallelogramm sein soll und ich keinerlei Ahnung zu BC-> habe, habe ich die Verschiebung des Vektors AD-> vom Punkt B aus verwendet um zu C zu gelangen, da das ein Parallelogramm ist, muss die Verschiebung AD-> Parallel zu BC-> passen. Ich habe herausbekommen C (3/7/6). Dann habe ich weitergerechnet und eine Ebenengleichung versucht aufzustellen: E: x-> = (1//2//0) + s (2//2//0) + k (2//5//6) + r (0//2//6)

Das dann mit g gleichsetzen und ich habe ein LGS bekommen, dass aber zu keinem Ergebniss führte, weil in jeder Reihe, der diagonalisierten Matrix jeweils für 2 Buchstaben/Parameter Lösungen waren vor dem gleichheitszeichen.

Was habe ich falsch gemacht? Ich bedanke mich im Voraus für jede Hilfe. Ich bitte um keine direkten Lösungen, ich will nur den Fehler wissen.

[Dante1253]

A (1/2/0), B (3/5/0), D (1/4/6) daraus kannst du direkt C ablesen (3/7/6), hast du ja auch getan.

Nun eine Ebene aufstellen klingt gut, habt ihr bislang nur die Parameterdarstellung? Mit der Normalenform und/oder Koordinatendarstellung ging es einfacher...

E: x = 0A + s*AB + r*AD = (1/2/0) + s(2/3/0) + r(0/2/6) ... ich denke, nun siehst du deinen Fehler, in einer Ebene gibt es nur 2 Stützvektoren.

Liebe Grüße

[crystaly]

Ahh, sehr gut. Ich bedanke mich vielmals

[Denvusk]

Mit dem Aufstellen der Ebenengleichung ist deine Arbeit noch nicht getan.
Es empfiehlt sich die Parameterschreibweise wie du gleich sehen wirst,
denn die Aufgabe lautet nicht pruefen sie ob sich Gerade und Ebene schneidet, sondern pruefe ob der Schnittpunkt *im* Parallelogram liegt.

Also einfach Schnittpunkt ausrechnen, in die Ebene einsetzen und dann nach r und s aufloesen.
beide werte muessen im bereich 0 bis 1 liegen.
that was easy

[Dante1253]

Zitat von Denvusk

Also einfach Schnittpunkt ausrechnen, in die Ebene einsetzen und dann nach r und s aufloesen.
beide werte muessen im bereich 0 bis 1 liegen.

Entweder so, oder du schaust, ob die Koordinaten des Schnittpunkts innerhalb des Vierecks der jeweiligen Koordinaten des Parallelogramms liegen

[sinaj90]

Zitat von Dante1253

Entweder so, oder du schaust, ob die Koordinaten des Schnittpunkts innerhalb des Vierecks der jeweiligen Koordinaten des Parallelogramms liegen

Genau das tut er doch mit seiner Methode und das ist ja auch genau die Aufgabe. Einfach so Pi mal Daumen bei einer Fläche im Raum gucken ob da ein Punkt drin liegt ist nicht sehr mathematisch und auch eher schwierig

[Dante1253]

Zitat von sinaj90

Genau das tut er doch mit seiner Methode und das ist ja auch genau die Aufgabe. Einfach so Pi mal Daumen bei einer Fläche im Raum gucken ob da ein Punkt drin liegt ist nicht sehr mathematisch und auch eher schwierig

Korrekt, er wollte es aber für die Schule & zumindest mir wurde die Methode mit r,s € [0,1] erst an der Universität beigebracht.
Darüberhinaus lernst du in der Schule zumeist, dass Stützvektoren maximal gekürzt werden, also wird statt r*(4/6/ nur r*(2/3/4) geschrieben -> damit ist die Methode "hinfällig", da man sich über jede Änderung wirklich bewusst sein müsste.
Im obigen Beispiel stimme ich dir aber natürlich zu.

[MWvXvWM]

Man braucht für diese Aufgabe gar nicht den Punkt C zu berechnen.
Ich erkläre nun den Weg. Berechnen muss es jeder selbst.

Zuerst bilde ich eine Ebene aus den 3 Punkten A, B und D und Prüfe durch Gleichsetzen und Lösen des Gleichungssystems ob die Gerade die Ebene schneidet oder parallel dazu verläuft. Wenn die Gerade parallel zur Ebene verläuft, so ist meine Berechnung schon zu Ende, denn dann wird sie das Parallelogramm auch nicht treffen.
Schneidet die Gerade die Ebene, so muss ich Prüfen, ob ich mit zwei Parametern die kleiner als 1 sind und mit den Vektoren AD und AB (denn diese beiden Richtungen gibt es beim Parallelogramm) auf einen der Punkte A, B oder D komme. Also stelle ich hierzu die Gleichung auf S=A+p1*Vektor(AD)+p2*Vektor(AB). (p1 & p2 sind die Parameter und S ist der Schnittpunkt der Geraden mit der Ebene) Wenn der Schnittpunkt der Geraden mit der Ebene innerhalb des Parallelogramms liegt, dann müsste ich als Ergebnis für p1 UND p2 Werte herausbekommen, die kleiner sind als 1 oder gleich 1 sind, da wir von Punkt A ausgehen und nie weiter als 1*Vektor(AD) bzw. weiter als 1*Vektor(AB) gehen. Erhalten wir 1, so trifft die Gerade genau die Kante und ist somit eine Tangente zum Parallelogramm. Sind beide Werte (p1 & p2)<1 so trifft die Gerade das Parallelogramm irgendwo in der Fläche. Dieser Punkt ist dann der Schnittpunkt der Geraden mit der Ebene. Ist p1>1 oder p2>1 so liegt der Schnittpunkt mit der Ebene außerhalb des Parallelogramms.

Dieser Lösungsansatz gilt für jedes Parallelogramm und jede Gerade!!!


Gruß