[Odatas]

Ich habe die Niveaumenge: f(x,y)=x^2+y^2-6y+5=0

Aufgabe:

Für den Punkt P=(0,1) gilt f(0,1)=0. Man überprüfe , ob sich die Niveaumenge in einer Umgebung von P eindeutig durch eine C1-Funktion y(x) oder x(y) darstellen lässt.

Antwort:

Jacobi Matrix von g(0,1) liefert (0,-4) und daraus folgt nach dem Satz über Implizite Funktionen, dass sich g(x,y) =0 in einer Umgebung von P=(0,1) eindeutig durch eine C1 Funktion y(x) darstellen lässt.

Ich versteh die Schlussfolgerung nicht ganz. Warum z.b. nicht x(y)? Weil Jacobi (0,1)=(0,-4) und x=0 und y=/=0? Daraus folgt dann das es y(x) gibt?

Wäre nett wenn das mal einer Aufschlüsseln könnte.

Danke

[5th_element]

schau dir den satz von der impliziten funktion noch mal genau an.
in deinem beispiel hast du eine funktion F vom R² nach R.
d.h. deine jacobimatrix ist eine 1,2-matrix: DF = (2x,2y-6).
die "zweite Teilmatrix" ist in deinem fall 2y-6 was für deinen punkt (0,1) den wert -4 liefert.
und jetzt:
um den satz von der impliziten funktion anwenden zu können brauchst du als voraussetzung für die existenz einer wie oben gesuchten funktion y = f(x), dass diese zweite teilmatrix, also hier -4 INVERTIERBAR ist; und das ist so (-1/4).
also existiert eine funktion f mit f(x_null) = y_null, so dass F[x,f(x)] = 0 für alle x aus einer offenen Umgebung von x_null.

[Odatas]

Ah ok habs verstande.

Invertierbar ist also das Stichwort.

Gibt es dann überhaupt möglichkeiten bei dennen das nicht Invertierbar ist obwohl die Teilmatrix =/= 0 ist?

[5th_element]

Zitat von Odatas

Ah ok habs verstande.
Invertierbar ist also das Stichwort.
Gibt es dann überhaupt möglichkeiten bei dennen das nicht Invertierbar ist obwohl die Teilmatrix =/= 0 ist?

ja klar.
du darfst nicht NUR vom eindimensionalen fall (funktion nach R) ausgehen.
stell dir etwa eine funktion F von R x R² in den R², also von R³ nach R² vor.
x aus R und y aus R².
dann ist deine jacobimatrix eine 2,3 matrix und die zu betrachtende teilmatrix dann eben eine 2,2 matrix.
und natürlich ist nicht jede matrix =/= 0 invertierbar, sondern nur die regulären matrizen mit det =/= 0 (also alle mit det = 0 eben NICHT).

wenn es sich wie in deinem fall um eine funktion NACH R handelt, ist deine relevante teilmatrix der jacobimatrix eine reelle zahl und natürlich gilt hier:
x =/= 0 <=> es exisitiert ein inverses element x_hoch_-1