Aaaaalso
angenommen die nuss fällt frei, dann beschleunigt sie schlicht mit der Erdbeschleunigung a=g (im 1-D Problem)
nach
und
folgt (da die konstanten getrost als 0 zu setzen sind)
das ganze sähe dann in etwa so aus:
bei 100m hat die Nuss also eine Geschwindigkeit von 44,3 m/s = 159,5 km/h !
Aber das is ja unrealistisch
Gehen wir also mal von Stokesscher Reibung aus, dort ist die Reibungskraft proportional zur Geschwindigkeit. Es ergibt sich dann
und
wieder mit v0=0 und z0=0. Beta ist hierbei der Reibungskoeffizient
wobei eta die Viskosität und r der Radius der angenommenen Kugel (Kugelwalnuss ftw^^) ist.
Man sieht, dass sich das t aus den beiden Gleichungen nicht eliminieren lässt. Das numerisch zu bestimmen ist mir jetzt doch ZU aufwändig
. Daher das v nun nur noch in Abhängigkeit von t und nicht von z. Vielleicht gibts online Tools, die das beherrschen, hab auf die Schnelle nichts gefunden.
Das ganze sieht dann so aus:
nicht sehr spektakulär. eine gerade, wie beim freien Fall zu erwarten wäre. Endgeschwindigkeit bei genügender Flugzeit wäre in dem Beispiel ~40.000 m/s
. Die Annahme, dass die Kraft proportional zur Geschwindigkeit ist (laminare Strömung), ist offenbar nicht gerechtfertigt. Man muss also eine Ordnung höher gehen, sodas F~v² wird (turbulente Strömung). Damit landet man bei der Newtonschen Reibung. Hier gilt
und
Konstanten v0 und z0 wieder =0. damit verschwindet die wurzel und der artanh, das macht das Ganze etwas erträglicher
hierbei ist
mit k als proportionalitätskonstante zwischen Kraft F und v².
mit dem Widerstandsbeiwert c_w, Körperquerschnittsfläche A und Dichte rho. Hier musste ich außer für rho natürlich Schätzwerte annehmen (besonders c_w ist sehr variabel)
Ich habe r=1,5cm (A=pi*r²) und cw=0,5 angenommen
das hier spuckt der plotter aus:
Stokes Reibung und freier Fall unterscheiden sich faktisch nicht. Die gute Näherung der Newton Reibung zeigt hier das vorliegende Verhalten.
Fazit: du bekommst die Nuss mit irgendwas zwischen 20 und 30 m/s auf den Kopf!